हेलो दोस्तों आज की इस पोस्ट में हम जानेगे की समुच्चय क्या होता है ? और इसकी परिभाषा क्या है तथा यह कितनी प्रकार के होते है इसकी पूरी जानकारी इस पोस्ट में हम जानेगे | समुच्चय सिद्धांत के जनक जर्मन के महान गणितज्ञ जार्ज केंटर ( Georg Cantor ) मने जाते है | प्रतिदिन हम अपने दैनिक जीवन में विशेष प्रकार के झुण्ड , टीम, समूह आदि की चर्चा करते है | इसी प्रकार यह सब गणित में भी विद्यमान है जिसकी चार्ज हम इस पोस्ट में करेगे | समुच्चय की गणित में महत्पूर्ण भूमिका है | समुच्चय शब्द की संकल्पना गणित की सभी शाखाओ में आधारभूत है |

समुच्चय क्या है ? ( what is sets in Hindi )

समुच्चय (set) सुपरिभाषित समूह अथवा संग्रह को कहते हैं। अर्थात वस्तुओ के सुपरिभाषित संग्रह या समूह को समुच्चय कहते है |

समुच्चय की परिभाषा लिखिए ?

परिभाषा के रूप में वस्तुओं के उस समूह अथवा संग्रह को समुच्चय कहते हैं जिसमें सम्मिलित प्रत्येक वस्तु किसी गुण विशेष या जाति को संतुष्ट करती हो, जिसके आधार पर स्पष्ट रूप से यह बताया जा सके कि यह वस्तु उस संग्रह में सम्मिलित है अथवा नहीं है।

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समुच्चय निर्माण की विधि क्या क्या है ?

समुच्चय को निरुपित करने की प्रमुख दो विधिया है –

1. रोस्टर ( Roster ) या सरणी रूप ( Tabular form )
2. समुच्चय निर्माण रूप ( set builder form )

रोस्टर ( Roster ) या सरणी रूप ( Tabular form )

रोस्टर या सरणी रूप में समुच्चय के सभी अवयवो को सूचीबद्ध किया जाता है | अवयवो को अर्धविराम ( Comma ) से अलग किया जाता है | तथा इन्हें सर्पाकार कोष्ठक { } में रखा जाता है |

समुच्चय निर्माण रूप ( set builder form )

समुच्चय निर्माण रूप रूप में किसी समुच्चय के सभी अवयवो का समान गुणधर्म होता है, जो समुच्चय से बाहर के अवयवो में नहीं होता है |

समुच्चय के प्रकार लिखिए ? (Types of sets in Hindi)

1. एकल समुच्चय  ( Singular or unit or one point set )
2. रिक्त समुच्चय ( Empty set )
3. सांत या परिमित समुच्चय ( Finite set )
4. सांत या परिमित समुच्चय ( Finite set )
5. अपरिमित या अनन्त समुच्चय ( Infinite set )
6. समान और तुल्य समुच्चय ( Equal and Equivalent set )
7. उप समुच्चय ( Subset )
8. वास्तविक या उचित उपमुच्चय (  Proper Subset )
9. सार्वत्रिक या समष्टीय समुच्चय ( Universal set )
10. समुच्चयो का समुच्चय ( Set of sets )
11. घात समुच्चय ( Power set )

एकल समुच्चय क्या है ? इसकी परिभाषा लिखिए ?  ( What is Singular or unit or one point set in Hindi )

वह समुच्चय जिसमे केवल एक ही अवयव हो, एकल समुच्चय कहलाता है | जैसे –

उदाहरण के लिए 

• भारत की महिला प्रधानमंत्रीयों का समुच्चय |
• एक समतल में दो सरल रेखाओ के प्रतिछेद बिन्दुओ का समुच्चय आदि |

रिक्त समुच्चय क्या होता है ? इसकी परिभाषा लिखिए | (What is Empty set in Hindi )

जिस समुच्चय में एक भी अवयव या कोई भी सदस्य नहीं होता है उसे हम रिक्त या शून्य समुच्चय कहते है | जैसे –

उदाहरण के लिए,

• कक्षा 10 या 11 वी दोनों में अध्यनरत विद्यार्थीयों का समुच्चय |

सांत या परिमित समुच्चय की परिभाषा और उदाहरण लिखिए ? (what is Finite set in Hindi )

वह समुच्चय में जिसमे अवयवो की संख्या सीमित हो, सांत या परिमित समुच्चय कहलाता है | जैसे –

उदाहरण के लिए, 

• लोकसभा के मंत्रियो की संख्याओं का समुच्चय |

 

अपरिमित या अनन्त समुच्चय की परिभाषा और उदाहरण लिखिए ? ( what is Infinite set in Hindi )

वह समुच्चय जिसमे अवयवो की संख्या अनन्त हो, अपरमित या अनंत समुच्चय कहलाता है | जैसे –

उदाहरण के लिए, 

• आकाश में तारों का समुच्चय |

समान और तुल्य समुच्चय की परिभाषा और उदाहरण लिखिए ? ( what is Equal and Equivalent set in Hindi )

यदि समुच्चय A और B में यदि A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव है और B का प्रत्येक अवयव A का भी अवयव है  तो एसे अवयव समान समुच्चय कहलाते है | अर्थात A = B

उपसमुच्चय क्या होता है ? इसकी परिभाषा और उदाहरण लिखिए |( what is Subset in Hindi )

यदि दो समुच्चय A और B इस प्रकार हो की A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव हो, तो हम समुच्चय A को समुच्चय B का उपसमुच्चय कहते है | अर्थात A ⊂ B

यहाँ B, A का अधिसमुच्चय होगा |

सार्वत्रिक या समष्टीय समुच्चय  क्या होता है इसकी परिभाषा लिखिए ? (what is Universal set in Hindi )

कभी-कभी सभी विचारधीन समुच्चय किसी एक ही समुच्चय के उपसमुच्चय होते है, जिसे समष्टीय समुच्चय कहते है |

समुच्चयो का समुच्चय  की परिभाषा लिखिए ?( what is Set of sets )

वह समुच्चय जिसके अवयव स्वयं कोई समुच्चय हो, समुच्चयों का समुच्चय कहा जाता है |

घात समुच्चय की परिभाषा लिखिए ? ( what is Power set )

किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयो के समुच्चय को समुच्चय A का घात समुच्चय कहते है | इसे P(A) से दर्शाते है |

समुच्चयो से सम्बंधित कुछ महत्वपूर्ण प्रमेय ( Set Theorem )

• रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है |
• प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है |

 

निष्कर्ष ( Conclusion )

संबंधो एवं फलनो , अनुक्रमो, प्रायिकता तथा ज्यामिति आदि में इसका महत्व प्रतिपादित हो चुका है | तथा अभी इसके बारे में गणितज्ञ खोज कर रहे है | तो दोस्तों यह पोस्ट पढ़कर अब आप जान गए होगे की समुच्चय क्या होता है और इसकी परिभाषा क्या है तथा इसकी खोज किसने की है | एसे ही और जानकारी के लिए हमारे इस ब्लॉग को सब्सक्राइब जरुर करे |

FAQ’s

Q. आधुनिक समुच्चय सिन्धांत की खोज सबसे पहले किसने की थी ?                                                                                     ANS – जार्ज केंटर ( Georg Cantor ) एवं  डेड्काइन्ड (Dedekind) ने सन 1870 में किया।

Q. “वर्ष के महीनो का समुच्चय” किस प्रकार के समुच्चय का उदाहरण है ?                                                                               ANS – परिमित समुच्चय का |

Q. “प्रथ्वी पर रहने वाले पशुओ का समुच्चय ” किस प्रकार के समुच्चय का उदाहरण है ?                                                           ANS – परिमित समुच्चय का |